Proposition IV.7.7 / Corollary IV.7.8 (始収束 = 積への埋め込み)
- Proposition IV.7.7 / Corollary IV.7.8 (始収束 = 積への埋め込み) #Card
- 写像族に関する始収束と対角積写像の関係。単射族ならどうなるか。
Proposition IV.7.7: The initial convergence with respect to several maps equals the initial convergence with respect to their diagonal product: $$\bigvee_{\tau \in T} f_\tau^- \tau = (\triangle_{\tau \in T} f_\tau)^- \prod T.$$
Corollary IV.7.8: If $\xi$ is the initial convergence with respect to an injective collection ${(f_\tau, \tau)}$（点を分離する族）, then $\triangle_\tau f_\tau$ is an embedding of $\xi$ into $\prod_\tau \tau$.
- 「単射族に関する始収束 = 積収束の部分収束（up to ≈）」——積が始構造の普遍的な受け皿であることを示す。第X章の関数的位相研究（$C(\xi,\nu_\mathbb{R})$ による $\mathbb{R}^J$ への埋め込み）の基盤。
証明の骨子.
- IV.7.7（始収束の判定 cards/topology/lem-iv-4-3 を対角積 $\triangle_\tau f_\tau$ に適用）: 任意のフィルター $\mathcal{F}$ と点 $x$ について、 $$x \in \lim_{\bigvee_\tau f_\tau^-\tau}\mathcal{F} \overset{\text{IV.4.3}}{\iff} \forall\tau,\ f_\tau(x) \in \lim_\tau f_\tau[\mathcal{F}] \overset{\text{積の定義}}{\iff} (\triangle_\tau f_\tau)(x) \in \lim_{\prod T}(\triangle_\tau f_\tau)[\mathcal{F}] \overset{\text{IV.4.3}}{\iff} x \in \lim_{(\triangle_\tau f_\tau)^-\prod T}\mathcal{F}.$$ 中央の同値は積収束の座標ごとの判定（$p_\tau \circ \triangle_\sigma f_\sigma = f_\tau$、cards/topology/product-convergence）。両収束の極限が全 $(\mathcal{F},x)$ で一致するので $\bigvee_\tau f_\tau^-\tau = (\triangle_\tau f_\tau)^-\prod T$。
- IV.7.8: 族が単射（点を分離）なら $\triangle_\tau f_\tau$ は単射（cards/topology/diagonal-product-map、Prop IV.7.5）。始収束の定義 $\xi = (\triangle_\tau f_\tau)^-\prod T$ に IV.7.7 を使い、単射連続で像上の逆も連続 ⇒ $\triangle_\tau f_\tau$ は $\xi \hookrightarrow \prod_\tau \tau$ の埋め込み。∎