Example IX.1.12（Hausdorff だが正則でない位相）
- Example IX.1.12（Hausdorff だが正則でない位相） #Card
- $\mathbb{R}$ 上に構成される、Hausdorff だが regular でない位相の仕組みは。
$\rho$: $x\neq0$ では $\nu_\mathbb{R}$ と同じ、$0$ では「$\nu_\mathbb{R}$ に収束し、かつ ${2^{-n}:n<\omega}\notin\mathcal{F}^{#}$」というフィルターだけ収束を許す（${2^{-n}}$ を意図的に $0$ から「引き離す」）。
$\nu_\mathbb{R}\leq\rho$ より $T\rho$ は Hausdorff。${2^{-n}:n<\omega}$ は $\rho$-閉で $0$ を含まないが、$\mathcal{N}_\rho(0)$ の任意の元の閉包は $[-r,r]$ を含み、${2^{-n}}$ の補集合には収まらない — 正則性の反例（Cor IX.1.7 の失敗）。
「収束列を人為的に間引く」だけで正則性が壊れる、という直感に反する構成の好例。