$\xi$-open set (VII.2)
- $\xi$-open set (VII.2) #Card
- 開集合の定義とフィルターによる特徴付け（Prop VII.2.1）は。
$O$ は $\xi$-開 :⟺ $X \setminus O$ が $\xi$-閉。$\mathcal{O}_\xi$ = 全開集合族。
Proposition VII.2.1: $O$ は $\xi$-開 $\iff$ 各フィルター $\mathcal{F}$ に対し $$O \cap \lim{}_\xi \mathcal{F} \neq \emptyset \implies O \in \mathcal{F}. \tag{VII.2.1}$$
$\mathcal{O}\xi$ の公理（Prop VII.1.3 の双対）: $$X, \emptyset \in \mathcal{O}\xi,\quad \mathcal{A} \subset \mathcal{O}\xi \implies \bigcup \mathcal{A} \in \mathcal{O}\xi,\quad \mathcal{A} \subset_{\mathrm{fin}} \mathcal{O}\xi \implies \bigcap \mathcal{A} \in \mathcal{O}\xi.$$
$\zeta \geq \xi \implies \mathcal{O}\zeta \supset \mathcal{O}\xi$。$\mathcal{O}\xi(A) := {O \in \mathcal{O}\xi : A \subset O}$、$\mathcal{O}\xi(x) := \mathcal{O}\xi({x})$。
IsOpen。