📐 Proposition VIII.2.4（細分は被覆を保つ）
- 📐 Proposition VIII.2.4（細分は被覆を保つ） #Card
- $\mathcal{R}$ が $A$ の被覆で $\mathcal{P}$ を refine するなら何が言えるか。3通りの言い換えは。
$\mathcal{R} \trianglerighteq_\xi A$ かつ $\mathcal{R} \triangleleft \mathcal{P}$（cards/topology/refines-relation）ならば $\mathcal{P} \trianglerighteq_\xi A$。
3つの等価な表現:
- 被覆の言葉: $\mathcal{R}\trianglerighteq_\xi A \wedge \mathcal{R}\triangleleft\mathcal{P} \implies \mathcal{P}\trianglerighteq_\xi A$
- inherence: $A\subset\operatorname{inh}\xi\mathcal{R} \wedge \mathcal{R}\triangleleft\mathcal{P} \implies A\subset\operatorname{inh}\xi\mathcal{P}$
- adherence: $\operatorname{adh}\xi\mathcal{R}^c\cap A=\emptyset \wedge \mathcal{R}^c\leq\mathcal{P}^c \implies \operatorname{adh}\xi\mathcal{P}^c\cap A=\emptyset$
細分をより粗い被覆で置き換えても被覆性は保たれる（有限部分被覆の存在証明で頻用）。
Lemma VIII.2.5: $\xi$-cover $\mathcal{P}$ は $X$ の任意の部分集合 $W$ の被覆でもある（$A\cap\lim\mathcal{F}\neq\emptyset$ の条件が緩む）。