Example IX.3.13（Sorgenfrey 線: コンパクト集合は可算、非 σ-コンパクトだが Lindelöf）
- Example IX.3.13（Sorgenfrey 線: コンパクト集合は可算、非 σ-コンパクトだが Lindelöf） #Card
- Sorgenfrey 線のコンパクト部分集合が必ず可算であることの証明の骨子と、σ-compact との違いは。
cards/topology/sorgenfrey-line $\varsigma=\varsigma_+$ で $K$ がコンパクトなら、各 $r\in K$ に $]x_r,r[\cap K=\emptyset$（$x_r<r$）が取れる（さもなくば単調列で有限部分被覆が作れない）。区間 $]x_r,r[$ 同士は disjoint、各区間に有理数 $q_r$ を1つ選べば $K\hookrightarrow\mathbb{Q}$ の単射 — $K$ は可算。
帰結: $\varsigma$ は $\sigma$-compact（可算個のコンパクト集合の合併）でない（非可算な $\mathbb{R}$ 全体を可算個の可算集合で覆えない）。
しかし Lindelöf: 開被覆 $\mathcal{P}$ に対し $A:=\bigcup_{P}\operatorname{int}{\nu\mathbb{R}}P$ は $\nu_\mathbb{R}$ の部分空間として Lindelöf なので可算部分被覆で覆える。$\mathbb{R}\setminus A$ の各点 $x$ には $]x,r_x[\subset A$ が取れ、これらは disjoint なので高々可算個 — 残りも可算被覆で処理可能。
「コンパクト性」と「$\sigma$-compact性」と「Lindelöf性」が Sorgenfrey 線では完全に乖離する好例。標準位相（Example IX.3.12: $\nu_\mathbb{R}$ は $\sigma$-compact だが countably compact でない、${]-n,n[}$ が反例）との対比。