📐 Corollary XII.7.9・Theorem XII.7.11（Stone 変換は $\mathfrak{F}X$ と $\beta$-閉集合族の順序反転同型）
- 📐 Corollary XII.7.9・Theorem XII.7.11（Stone 変換は $\mathfrak{F}X$ と $\beta$-閉集合族の順序反転同型） #Card
- $\beta X$ の閉集合はすべて $\beta\mathcal{F}$ の形であること、Stone 変換が順序同型になることの意味は。
Prop XII.7.7・XII.7.8: 任意のフィルター $\mathcal{F}$ について $\beta\mathcal{F}$ は $\beta$-閉。任意の $D\subset\beta X$ について $\operatorname{cl}\beta D=\beta(\bigcap{p\in D}U(p))$。
Cor XII.7.9: $D\subset\beta X$ が $\beta$-閉 $\iff$ ある filter $\mathcal{F}$ で $D=\beta\mathcal{F}$。
Thm XII.7.11: Stone 変換 $\beta$ は $\mathfrak{F}X$（$X$ 上のフィルター全体、逆包含順序）と $\mathcal{C}_\beta$（$\beta$-閉集合族、包含順序）の間の順序同型（全単射かつ極値を保存）。
Cor XII.7.12: $\beta(\bigvee\mathcal{F})=\bigcap_{F\in\mathcal{F}}\beta F$、$\beta(\bigwedge\mathcal{F})=\operatorname{cl}\beta(\bigcup{F\in\mathcal{F}}\beta F)$（順序同型が上限・下限を反転して保存することから、Prop I.3.8）。
「$X$ 上のフィルターの全体構造は、$\beta X$ の閉集合束の中に忠実に写し取られる」— compactoid・フィルターの理論を、コンパクト空間 $\beta X$ の中の幾何として再解釈できるという視点の転換。