Example XV.1.5（$\mathcal{R}$ が Hausdorff でも $\mathcal{R}^-$ は Hausdorff とは限らない）
- Example XV.1.5（$\mathcal{R}$ が Hausdorff でも $\mathcal{R}^-$ は Hausdorff とは限らない） #Card
- Hausdorff 性が conjugate に遺伝しない反例の構成は。
各 $t\in\mathbb{R}$ に対し $R_t:={(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}: x\geq t, y\leq x}$、${R_t\cup\Delta: t\in\mathbb{R}}$ が preuniformity $\mathcal{R}$ の filter-base。
$$R_tx = \begin{cases} {x} & x<t \ ,]-\infty,x] & x\geq t\end{cases}$$
より $\lambda\mathcal{R}$ は $\mathbb{R}$ 上の離散位相（ゆえに Hausdorff）。一方 $$R_t^-y = \begin{cases}{y}\cup[t,+\infty[ & y<t \ [y,+\infty[ & y\geq t\end{cases}$$ なので $\lambda\mathcal{R}^-$ は Hausdorff でない（$y<t$ の点は $[t,\infty[$ の全点と分離できない）。cards/topology/hausdorff-preuniformity-prop-xv-1-4 の非対称性を示す最小例。