Hausdorff preuniformity／📐 Proposition XV.1.4（$\bigcap R^-\circ R=\Delta$ 特徴づけ）
- Hausdorff preuniformity／📐 Proposition XV.1.4（$\bigcap R^-\circ R=\Delta$ 特徴づけ） #Card
- preuniformity が Hausdorff であることの定義と、合成を使った特徴づけは。
$\mathcal{R}$ が Hausdorff :⟺ 任意の相異なる $x_0,x_1\in X$ に対し、ある $R\in\mathcal{R}$ で $Rx_0\cap Rx_1=\emptyset$（同値に $\lambda\mathcal{R}$ が Hausdorff）。
Prop XV.1.4: $$\lambda\mathcal{R}\text{ is Hausdorff} \iff \bigcap_{R\in\mathcal{R}} R^-\circ R = \Delta.$$
証明: 常に $R^-\circ R\supset\Delta^-\circ\Delta=\Delta$。$(x_0,x_1)\notin\Delta$ のとき、Hausdorff 性 $\iff\exists R: Rx_0\cap Rx_1=\emptyset\iff x_1\notin R^-Rx_0\iff(x_0,x_1)\notin R^-\circ R$（任意の $R$ で成立）。