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📐 列修正した測度収束は概収束の列修正の Urysohn 修正 (Corollary XXII.9.20)

  • 📐 列修正した測度収束は概収束の列修正の Urysohn 修正 (Corollary XXII.9.20) #Card
    • $\operatorname{Seq}(m_\mu)=U(\operatorname{Seq}(e_\mu))$ が Lemma XXII.9.7 からどう従うか。

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$\operatorname{Seq}m_\mu=U(\operatorname{Seq}e_\mu)$（cards/topology/sequentially-founded-convergence の列修正 $\operatorname{Seq}$ と cards/topology/urysohn-modification $U$ を用いた等式）。

証明: 列フィルター $\mathcal{E}$ が $f$ に測度収束すれば、Lemma XXII.9.7 によりある部分列フィルター $\mathcal{F}\in S\mathcal{E}$ が $f$ に概収束する。したがって $\mathcal{F}$ のどの部分列フィルター $\mathcal{G}\in S\mathcal{F}$ も（部分列も同じ極限に収束するという古典的性質により）$f$ に概収束する——これはまさに $U$ 修正の定義（$\lim_{U\xi}\mathcal{E}=\bigcap_{\mathcal{F}\in S\mathcal{E}}\bigcup_{\mathcal{G}\in S\mathcal{F}}\lim_\xi\mathcal{G}$）が要求する条件。逆に概収束は測度収束を含意するので、逆の包含も成立。

系（式 XXII.9.7 として本文で使用）: pseudotopology であることは Cor XXI.5.7（本節では既知として引用のみ）により sequentially founded 収束から従うため、 $$\operatorname{Seq}e_\mu=S(\operatorname{Seq}e_\mu)>U(\operatorname{Seq}e_\mu)=\operatorname{Seq}m_\mu,$$ すなわち列修正のレベルでは概収束の方が測度収束より真に細かい（$\operatorname{Seq}e_\mu$ 自身がすでに擬位相）。