Urysohn 修正 $U\xi$ と Urysohn 収束 (Definition XVI.3.15 / 式 XVI.3.6)
- Urysohn 修正 $U\xi$ と Urysohn 収束 (Definition XVI.3.15 / 式 XVI.3.6) #Card
- Sequentially founded な収束が Urysohn であるとはどういう条件で、$U\xi$ をどう定義するか。
Sequentially founded な収束 $\xi$ が Urysohn :⟺ 各 $x$ と各列フィルター $\mathcal{E}$ で $x\notin\lim_\xi\mathcal{E}$ なる場合、ある部分列フィルター $\mathcal{F}\in S\mathcal{E}$ が存在し、$\mathcal{F}$ のどの部分列フィルター $\mathcal{G}\in S\mathcal{F}$ についても $x\notin\lim_\xi\mathcal{G}$（「収束しない列は、収束する部分列を全く持たない部分列にまで落とせる」）。
同値に（式 XVI.3.6）、各列フィルター $\mathcal{E}$ に対し $$\lim_{U\xi}\mathcal{E}:=\bigcap_{\mathcal{F}\in S\mathcal{E}}\bigcup_{\mathcal{G}\in S\mathcal{F}}\lim_\xi\mathcal{G}$$ とおくと、$\xi$ が Urysohn $\iff U\xi\geq\xi$（列に翻訳すると Prop XVI.3.16: $(x_n)n$ が $x$ に収束しないなら、どの部分列を取ってもそのまた部分列は $x$ に収束しないような部分列 $(x{n_k})_k$ が存在する）。
第XXII.9節での用法: $\operatorname{Seq}(m_\mu)=U(\operatorname{Seq}(e_\mu))$（Cor XXII.9.20、測度収束の列修正は概収束の列修正の Urysohn 修正に一致）。
本カードは第XXII章§9のカード化に必要な最小限の辞書カード（第XVI章は本格カード化の対象外）。