📐 Proposition IX.3.11（正則・free・可算 weight ⟹ 正規）
- 📐 Proposition IX.3.11（正則・free・可算 weight ⟹ 正規） #Card
- second countable な正則 $T_1$ 位相が自動的に正規になることの証明は。
$\xi$ が regular・free（$T_1$）・可算 weight（second countable）なら normal。
証明: cards/topology/lem-ix-1-21-normality-open-cover-criterion（Lemma IX.1.21）を適用。閉集合 $F$、$O\in\mathcal{O}_X(F)$ に対し、正則性から各 $x\in F$ で $B_x\in\mathcal{B}$（可算 base）を $x\in B_x\subset\operatorname{cl}_X B_x\subset O$ と取れる。base が可算なので、選ばれる $B_x$ たちも高々可算個 — 自動的に Lemma IX.1.21 の可算被覆条件を満たす。
Urysohn の距離化定理（正則・$T_1$・second countable な位相は距離化可能）の前段階に位置する事実。「可算性」が正則性から正規性を引き出す万能の道具になっている。
本ノート RoyalRoad.ChapterIX.prop_IX_3_11（NormalSpace.of_regularSpace_secondCountableTopology 相当、Notes/ChapterIX.lean、lake build 済み）