Hypercompact 位相／point of local compactness（Supplement 定義群）
- Hypercompact 位相／point of local compactness（Supplement 定義群） #Card
- 「hypercompact」位相の定義と例。「局所コンパクト性を持つ点」の定義と、そのような点全体が開集合になる理由は。
位相 $\xi$ が hypercompact:⟺ 任意のフィルターが収束する（$\lim_\xi\mathcal{F}\neq\emptyset$ が任意の $\mathcal{F}$ で成立）。カオス位相は hypercompact。非カオスな例: Sierpiński 位相 $$$。
Exercise XII.10.6: 自由（free、$T_1$的な意味で $\lim_\xi x^\uparrow\subset{x}$）な hypercompact 位相の台集合は1点集合に限る（相異なる2点 $x_0,x_1$ があれば ${x_0,x_1}^\uparrow$ の極限が ${x_0}\cap{x_1}=\emptyset$ に矛盾）。
$x\in X$ が位相 $\xi$ のlocal compactness の点:⟺ $x$ の $\xi$-compact な近傍が存在する。Exercise XII.10.7: local compactness の点全体は $\xi$-開集合をなす（$x\in\operatorname{int}_\xi K$ の各点も同じ $K$ で局所コンパクト性の点になる）。
「局所コンパクト」を位相全体の性質ではなく各点の性質として分解し、その集合が開になるという事実は、cards/topology/local-compactness-variants の変種たちを「どこで」壊れるかを診断する道具になる。