📐 Egorov の定理：有限測度なら概収束 ⟹ 概一様収束 (Proposition XXII.9.4)
- 📐 Egorov の定理：有限測度なら概収束 ⟹ 概一様収束 (Proposition XXII.9.4) #Card
- 有限測度空間で概収束が概一様収束を含意することの証明の骨子は。
$\mu(\Omega)<\infty$ とする。$(h_n)n$ が（一般性を失わず至る所で）$0$ に収束するとき、 $$Q{n,\varepsilon}:=\bigcup_{m\geq n}{|h_m|\geq\varepsilon}$$ とおくと $\bigcap_{n<\omega}Q_{n,\varepsilon}=\emptyset$（各点収束による）。$\mu(\Omega)<\infty$ なので $\lim_{n\to\infty}\mu(Q_{n,\varepsilon})=0$。
固定した $\delta>0$ に対し $\varepsilon=2^{-k}$ ごとに $\mu(Q_{n_k,2^{-k}})<\delta2^{-k-1}$ となる $n_k$ を選び、$Q:=\bigcup_{k<\omega}Q_{n_k,2^{-k}}$ とおけば $\mu(Q)<\delta$。$x\notin Q$ なら $x\notin Q_{n_k,2^{-k}}$（各 $k$）、すなわち $|h_m(x)|<2^{-k}$（$m\geq n_k$）となり、$\Omega\setminus Q$ 上で一様に $0$ へ収束する。$\delta>0$ は任意だったので、概一様収束が従う。
これは古典的な Egorov の定理そのもの。有限測度の仮定が本質的（$\sigma$-有限でも各成分ごとに適用すれば拡張できるが、無限測度では一般に成立しない）。
Mathlib: MeasureTheory.Egorov（MeasureTheory.tendstoUniformlyOn_of_ae_tendsto 等、Egorov の定理そのものが定式化されている）。