📐 Proposition XII.1.9・Corollary XII.1.10（Euclid 空間の閉有界性のフィルター特徴づけ）
- 📐 Proposition XII.1.9・Corollary XII.1.10（Euclid 空間の閉有界性のフィルター特徴づけ） #Card
- Euclid 空間の部分集合 $A$ が有界（Prop 1.9）／閉かつ有界（Cor 1.10）であることを、フィルターの言葉でどう特徴づけるか。
Prop XII.1.9: $A$ が有界なら、任意のフィルター $\mathcal{H}$ に対し $$A \in \mathcal{H}^{#} \implies \operatorname{adh}_\nu \mathcal{H} \neq \emptyset.$$
Cor XII.1.10: $A$ が閉かつ有界 $\iff$ 任意のフィルター $\mathcal{H}$ に対し $$A \in \mathcal{H}^{#} \implies A \cap \operatorname{adh}_\nu \mathcal{H} \neq \emptyset. \tag{XII.1.1}$$
証明の要点: 非有界なら $|x_n|>n$ の数列で adherence が空になる。非閉なら Hausdorff 性より $A$ 上の自由超フィルターで極限が $A$ の外にある。
Cantor（Thm XII.1.5）・Peano（Thm XII.1.6）のイデアル版コンパクト性を、後の cards/topology/prop-viii-3-1-relative-compactness（一般の収束空間での compactoid 判定）の言葉に翻訳した特殊ケース。歴史的には Bolzano–Weierstraß・Borel–Lebesgue・Cantor–Peano がそれぞれ独立に到達した「有界閉区間のコンパクト性」を統一する道具。