📐 Proposition VIII.3.1（部分集合のコンパクト性の判定条件）
- 📐 Proposition VIII.3.1（部分集合のコンパクト性の判定条件） #Card
- $A$ が $\xi$-compact であることを、$X$ 上のフィルターだけで判定する条件は。
$A$ は $\xi$-compact $\iff$ 各 $\mathcal{H}\in\mathfrak{F}X$ に対し $$A \in \mathcal{H}^{#} \implies \operatorname{adh}\xi \mathcal{H} \cap A \neq \emptyset.$$
（$A$ に制限したフィルターでなく $X$ 全体のフィルターで、$A$ と mesh するものだけを見ればよい。）同値な言い換え: 各超フィルター $\mathcal{U}\in\beta A$ に対し $\lim_\xi\mathcal{U}\cap A\neq\emptyset$。
「部分空間 $\xi\vert_A$ の中でコンパクト」という定義を、外側の空間 $X$ のフィルターの言葉に翻訳する道具 — 実践上、部分位相を明示的に構成せずにコンパクト性を確認できる。