📐 Proposition XII.2.3・Corollary XII.2.4（コンパクトかつ Hausdorff より粗い位相は一致・連続全単射は同相）
- 📐 Proposition XII.2.3・Corollary XII.2.4（コンパクトかつ Hausdorff より粗い位相は一致・連続全単射は同相） #Card
- $\xi$ がコンパクト、$\tau$ が Hausdorff で $\xi\geq\tau$ のとき、なぜ $\xi=\tau$ となるか。連続全単射版の帰結は。
Prop XII.2.3: $\xi$ がコンパクト位相、$\tau$ が Hausdorff 位相で $\xi\geq\tau$ なら $\xi=\tau$。
証明の要点: $x\in\lim_\tau\mathcal{F}$ のとき、任意の $\mathcal{U}\in\beta\mathcal{F}$ について $\tau$ が Hausdorff より $\lim_\tau\mathcal{U}={x}$。$\xi$ がコンパクトで $\xi\geq\tau$ より $\emptyset\neq\operatorname{adh}\xi\mathcal{U}=\lim\xi\mathcal{U}\subset{x}$。超フィルターの共通部分を戻すと $x\in\lim_\xi\mathcal{F}$。
Cor XII.2.4: $\xi$ がコンパクト、$f\in C(\xi,\tau)$ が全単射、$\tau$ が Hausdorff なら $f$ は同相写像（$f\in H(\xi,\tau)$）。
「コンパクト・ハウスドルフの間の連続全単射は自動的に同相」という、位相空間論で頻繁に使う道具。$\xi$ が細かすぎず・$\tau$ が粗すぎない、というギリギリのバランスの上に一意性が成り立つ。