Niemytzki plane（Example IX.1.19、Hausdorff・正則だが非正規）
- Niemytzki plane（Example IX.1.19、Hausdorff・正則だが非正規） #Card
- Niemytzki 平面の構成と、正規性が破れる証明の骨子（Cantor の定理の使用）は。
$X:={(x,y)\in\mathbb{R}^2:y\geq0}$。$y>0$ では標準位相 $\nu^2_\mathbb{R}$、$y=0$ の点 $(x,0)$ の近傍基は $x$ 軸に接する円板 $B((x,2^{-n}),2^{-n})\cup{(x,0)}$。$x$ 軸 $L$ の各部分集合が閉。Hausdorff・正則（$\operatorname{cl}\zeta V_n\subset V{n-1}$）だが正規でない。
証明の骨子: 正規なら各 $F\subset L$ に disjoint な開集合 $U_F\supset F,\ W_F\supset L\setminus F$ を割り当てられる。写像 $F\mapsto U_F\cap(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}^+)$ が単射になることを示す（$F_1\setminus F_0\neq\emptyset$ なら $U_{F_1}\cap W_{F_0}$ が非空開集合で有理点を含む）。
しかし $L$ の部分集合は $2^{\mathfrak{c}}$ 個、有理上半平面は $\aleph_0=\mathfrak{c}$ 個しかないので単射は不可能（Cantor の定理 I.5.8: $2^{\mathfrak{c}}\not\leq\mathfrak{c}$）— 矛盾。カウンティング論法による非正規性の証明の古典例。