フィルターの概収束 $e_\mu$ は測度論的でない（反例） (Example XXII.9.12)
- フィルターの概収束 $e_\mu$ は測度論的でない（反例） (Example XXII.9.12) #Card
- $[0,1]$ 上の $\mathbb{Q}$ 平行移動同値類を使って $e_\mu$ が測度論的でないことをどう示すか。
$[0,1]$ 上で $x_0\approx_{\mathbb{Q}} x_1:\iff x_1-x_0\in\mathbb{Q}$ とし、その同値類の族を $\mathscr{R}$（各類は可算、$\operatorname{card}\mathscr{R}=\mathfrak{c}$）とする。$r>0$ に対し $F_r:={s\chi_R:0<s<r,\ R\in\mathscr{R}}$ とし、${F_{2^{-n}}:n<\omega}$ を基とするフィルター $\mathcal{F}$ を考える。
- $\mathcal{F}$ は関数 $0$ に至る所で（everywhere）収束する。
- 一方 $\varphi(s\chi_R):=\chi_R$（$\mu$-a.e. で $\varphi(h)=h$ を満たす写像）を取ると、$\varphi[\mathcal{F}]$ は ${\chi_R:R\in\mathscr{R}}$ を基とする主フィルターだが、これは概収束しない：任意の $x\in[0,1]$ に対し $x$ を含まない類 $R_x\ni$ある点で $\chi_{R_x}$ が $\varphi[\mathcal{F}]$ の全要素に属すため、測度1の集合 $S$ をどう取っても $S$ 上のある点で値 $1$ を取る元が $\varphi[\mathcal{F}]$ に居座り、$0$ への概収束が破れる。
$\mu$-a.e. の変更 $\varphi$ で収束が壊れる＝測度論的でない、ことの直接的な反例。この病理は可算台修正 $\mathbb{E}e_\mu$ を取ることで解消される（Prop XXII.9.13）。