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📐 概収束の可算台修正 $\mathbb{E}e_\mu$ は測度論的 (Proposition XXII.9.13)

  • 📐 概収束の可算台修正 $\mathbb{E}e_\mu$ は測度論的 (Proposition XXII.9.13) #Card
    • $e_\mu$ 自体は測度論的でないのに、可算台修正を取ると測度論的になる理由は。

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$f_\infty\in\lim_{\mathbb{E}e_\mu}\mathcal{F}$ とし、$\varphi:M\to M$ が各 $h$ で $\mu{h\neq\varphi(h)}=0$ を満たすとする。cards/topology/countably-carried-modification の定義により、ある $S\in\mathscr{S}$（$\mu(\Omega\setminus S)=0$）と可算集合 $F_0\in\mathcal{F}$ が存在し $f_\infty(x)\in\lim\mathcal{F}(x)$（各 $x\in S$）。

$F_0$ が可算であることが本質: $S_0:=S\setminus\bigcup_{f\in F_0\cup{f_\infty}}{f\neq\varphi(f)}$ は、可算個の測度 $0$ 集合の合併を $S$ から除いただけなので $\mu(\Omega\setminus S_0)=0$ のまま。$S_0$ 上では $F_0$ の元も $f_\infty$ も $\varphi$ で不変なので、$\varphi(f_\infty)(x)\in\lim\varphi\mathcal{F}$（各 $x\in S_0$）が従う。

教訓: $e_\mu$（Example XXII.9.12）が測度論的でなかったのは、収束を支えるフィルターの元が非可算個の「例外測度0集合」を寄せ集めてしまい得たから。可算台に制限すれば可算加法性（測度の定義そのもの）により例外集合の合併がなお測度0に留まり、病理が消える。