📐 Theorem XII.7.21（$\beta X$（$X$ 可算）の無限閉部分集合は $\beta X$ のコピーを含む）
- 📐 Theorem XII.7.21（$\beta X$（$X$ 可算）の無限閉部分集合は $\beta X$ のコピーを含む） #Card
- $\beta X$ の無限な閉部分集合が、必ず $\beta X$ 自身と同相な部分集合を含むことの証明の戦略は。
$X$ が可算無限、$C$ が $\beta X$ の無限 $\beta$-閉部分集合なら、$C$ は $\beta X$ と同相な部分集合を含む。
証明の戦略: $\beta$ の正規性（Hausdorff コンパクト ⟹ 正規）を使い、$C$ 内に互いに交わらない開近傍を持つ可算な離散点列 $P={p_n}\subset C$ を帰納的に構成する。$X$ が $\beta$-離散な部分空間であることを使い、$P$ 上の任意の連続関数 $f\in C(\beta|_P,[0,1])$ を $X$ 上の関数 $f_0$ 経由で $\beta$ 全体へ拡張し（$X$ は離散なので $f_0$ は自動的に連続）、cards/topology/thm-xii-7-17-stone-cech-universal-property の一意拡張性から $F_0$ は $P$ の閉包上で $f$ に一致することを示す。
結論として $C(\beta|P,[0,1])$ の任意の関数が $\operatorname{cl}\beta P$ 上に拡張できるので、cards/topology/thm-xii-7-19-stone-cech-characterization の普遍性の逆定理により $\operatorname{cl}\beta P=\beta P$、かつ $P$ は可算離散なので $\operatorname{cl}\beta P\cong\beta X$。
$\beta\mathbb{N}$ の自己相似的な「フラクタル的」構造を示す結果 — 無限であればどこを切り取っても全体のコピーが埋まっている。