📐 Theorem XII.7.19（普遍性による $\beta X$ の一意特徴づけ、逆定理）
- 📐 Theorem XII.7.19（普遍性による $\beta X$ の一意特徴づけ、逆定理） #Card
- 普遍性（任意の Hausdorff コンパクトへの写像が一意拡張できること）を満たす空間は、Stone 位相と同相になることの証明の骨子は。
$\xi$ が $Y$ 上の Hausdorff コンパクト位相で、$X$ が $\xi$-稠密に埋め込まれ、かつ任意の Hausdorff コンパクト位相 $\tau$ と写像 $f\in|\tau|^X$ に対し $F|_X=f$ となる唯一の $F\in C(\xi,\tau)$ が存在するなら、$\xi$ は $\beta$（Stone 位相）に同相。
証明: cards/topology/thm-xii-7-17-stone-cech-universal-property より、$\xi$ の稠密埋め込みに対し一意な $F\in C(\xi,\beta)$（$F|_X=i_X$）が存在。逆に $\xi$ 自身の普遍性から一意な $G\in C(\beta,\xi)$（$G|_X=i_X$）が存在。$G\circ F$ と恒等写像はどちらも稠密部分集合 $X$ 上で一致するので（一意な拡張の一意性、Cor IX.1.4）、$G\circ F=\mathrm{id}Y$、$F\circ G=\mathrm{id}{\beta X}$。互いに逆写像なので全単射、cards/topology/prop-xii-2-3-compact-above-hausdorff-equal（Cor XII.2.4）で同相。
「普遍性による特徴づけ」の型の議論の典型例: 圏論的な普遍性を満たすオブジェクトは（存在すれば）一意 — 圏論を明示的に使わずに、稠密拡張の一意性だけから同じ結論を導く。