Pointwise Convergence (各点収束) (Definition IV.6.10)
- Pointwise Convergence (各点収束) (Definition IV.6.10) #Card
- A filter $\mathcal{F}$ on $X^J$ $\sigma$-pointwise converges to $f \in X^J$ if $f(j) \in \lim_\sigma \mathcal{F}(j)$ for each $j \in J$, where $\mathcal{F}(j) := {{\varphi(j) : \varphi \in F} : F \in \mathcal{F}}$.
The $J$-power convergence $\sigma^J := \prod_{j \in J} \sigma$ on $X^J$. A filter $\mathcal{F}$ on $X^J$ $\sigma$-pointwise converges to $f \in X^J$ if $$f(j) \in \lim_\sigma \mathcal{F}(j) \quad \text{for each } j \in J,$$ where $\mathcal{F}(j) := {{\varphi(j) : \varphi \in F} : F \in \mathcal{F}}$（$j$ での値の族、$= p_j[\mathcal{F}]$）.
- Example IV.6.9: $\pi = \prod_{j \in J} \nu_\mathbb{R}$ on $\mathbb{R}^J$ = 実数値関数の各点収束そのもの。
- 各点収束 = 積収束＝射影に関する始収束。関数空間の収束の出発点（第XXIV章 Spaces of Maps への伏線）。測度論では分布関数・特性関数の各点収束の舞台。
Pi.topologicalSpace 上の Tendsto；tendsto_pi_nhds