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$C(\xi,\sigma)$：連続写像の空間、超収束との関係

  • $C(\xi,\sigma)$：連続写像の空間、超収束との関係 #Card
    • 写像の空間上の収束を考える章の出発点。$C(\xi,\sigma)$ とは何で、超収束（hyperconvergence）はその特殊ケースとしてどう埋め込まれるか。

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$\xi$ を $X$ 上、$\sigma$ を $Z$ 上の収束とする。$Z^X$ は $X$ から $Z$ への（連続とは限らない）写像全体、$C(\xi,\sigma)\subset Z^X$ はその中で $\xi\to\sigma$ 連続な写像全体。定数写像を含むので常に非空。

写像の空間上の収束は、$X$・$Z$ 上に既にある収束から構成される。超収束（hyperconvergence）は、値域を2点集合にした写像の空間の収束の特殊ケース——部分集合 $A\subset X$ を特性関数 $\chi_A\in{0,1}^X$ と同一視することで、$X$ の部分集合の族の収束（超収束）が $C(\xi,$)$（$$$ はSierpiński空間）の話に埋め込まれる。この同一視は本章全体を通じて反復的に使われる（cards/topology/dollar-dual-kuratowski-scott-convergences 等）。

最も基本的な例は $\sigma$-pointwise convergence $p(X,\sigma)$：$Z^X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $f_\infty$ に収束 :⟺ 各 $x$ で $\mathcal{F}(x):={{f(x):f\in F}:F\in\mathcal{F}}$ が $f_\infty(x)$ に収束（cards/topology/pointwise-convergence の関数版）。本章は主に $C(\xi,\sigma)$ 上の収束（$C_p$-理論はその一種）を扱う。