📐 Proposition XV.4.12（積 quasi-uniformity が complete ⟺ 各成分が complete）
- 📐 Proposition XV.4.12（積 quasi-uniformity が complete ⟺ 各成分が complete） #Card
- 完備性が積とどう相互作用するか。
$\mathcal{R}j$ を $X_j$ 上の quasi-uniformity（$j\in J$）とし $\mathcal{R}:=\prod{j\in J}\mathcal{R}_j$（cards/topology/product-preuniformity）とする。 $$\mathcal{R}\text{ is complete} \iff \mathcal{R}_j\text{ is complete for each } j\in J.$$
証明（⟸）: $\mathcal{F}$ が $\mathcal{R}$-Cauchy なら cards/topology/prop-xv-4-5-4-6-product-cauchy-criterion より各 $p_j[\mathcal{F}]$ が $\mathcal{R}_j$-Cauchy、よって各 $\lambda\mathcal{R}_j$-adherent、ゆえに $\mathcal{F}$ 自身 $\lambda\mathcal{R}$-adherent。
（⟹）: 各 $X_j$ は $\lambda\mathcal{R}$-closed な部分空間として埋め込めるので（他の座標を固定した切片）、$\mathcal{R}$ complete なら各 $\mathcal{R}_j$ も complete。