📐 概一様収束 ⟹ 概収束 (Proposition XXII.9.2 / Remark XXII.9.3)
- 📐 概一様収束 ⟹ 概収束 (Proposition XXII.9.2 / Remark XXII.9.3) #Card
- 概一様収束が概収束を含意することの証明の骨子と、その極限で一様性が失われる点は。
$(h_n)_n$ が $0$ に概一様収束すれば $0$ に概収束する。
証明: 各 $k<\omega$ に対し $\mu(E_k)<2^{-k}$ かつ $(h_n(x))n$ が $\Omega\setminus E_k$ の各点で $0$ に収束するような $E_k$ が取れる。$\mu(\bigcap{k<\omega}E_k)=0$ であり、$(h_n)n$ は $\Omega\setminus\bigcap{k<\omega}E_k$ 上で各点 $0$ に収束する。
Remark XXII.9.3: この証明で得られる「$\Omega\setminus\bigcap_k E_k$ 上での収束」は一般には一様ではない——概一様収束の「一様性」は $E_k$ ごとに閉じ込められた局所的なものであり、可算個を合わせて除いた後の収束は各点収束にとどまる。