📐 測度に関して基本的な（Cauchy な）列は概一様収束する部分列を持つ (Lemma XXII.9.7)
- 📐 測度に関して基本的な（Cauchy な）列は概一様収束する部分列を持つ (Lemma XXII.9.7) #Card
- 測度 Cauchy 列から概一様収束部分列を抜き出す対角線論法の骨子は。
$(f_n)n$ が測度に関して fundamental（Cauchy）：測度 Cauchy 性の定義（各 $\eta>0$ に対し $\mu{|f_n-f_m|\geq\eta}\to0$）から、任意に固定した $\varepsilon>0$ に対し、各 $k<\omega$ ごとに $n_k$ が取れて $n,m>n_k$ なら $$\mu{|f_n-f_m|\geq 2^{-k}}<\varepsilon,2^{-k-1}.$$ （閾値の指数を $2^{-k-1}$ に取るのが定数整合の要。書籍本文は $\varepsilon 2^{-k}$ と書くが $\sum_k\varepsilon 2^{-k}=2\varepsilon$ となり結論 $\mu(E)<\varepsilon$ と factor $2$ ずれる。同ページの Prop XXII.9.4 の証明が $Q{n_k,2^{-k}}<\delta 2^{-k-1}$ で $\sum=\delta$ ちょうどに収める手筋と揃え、$2^{-k-1}$ を採る。）
$(n_k)k$ を狭義増加に取り直し、$E_k:={|f{n_{k+1}}-f_{n_k}|\geq 2^{-k}}$（$n_{k+1},n_k>n_k$ ゆえ $\mu(E_k)<\varepsilon 2^{-k-1}$）、$E:=\bigcup_{k<\omega}E_k$ とおくと $$\mu(E)\leq\sum_{k<\omega}\mu(E_k)<\sum_{k<\omega}\varepsilon,2^{-k-1}=\varepsilon.$$
$x\notin E$ なら各 $k$ で $x\notin E_k$、すなわち $|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|<2^{-k}$。よって $$f(x):=f_{n_0}(x)+\sum_{k<\omega}\bigl(f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)\bigr)$$ は $\Omega\setminus E$ 上で幾何級数 $\sum_k 2^{-k}$ を優級数に持ち（Exercise X.4.14）、$\Omega\setminus E$ 上で一様収束する。ゆえに部分列 $(f_{n_k})_k$ は「測度 $<\varepsilon$ の例外集合 $E$ の外で一様収束」する。
概一様収束への論理：概一様収束の定義（各 $\lambda>0$ に対し $\mu(\Omega\setminus A)<\lambda$ かつ $A$ 上で一様収束する $A$ が存在）は、上の構成をそのまま $\lambda:=\varepsilon$ とおいた形——$A:=\Omega\setminus E$ が $\mu(\Omega\setminus A)=\mu(E)<\varepsilon$ を満たし $A$ 上で一様収束する。ここで肝心なのは、$\varepsilon$ ごとに別々の部分列を取り直すのではなく、上で構成した単一の部分列 $(f_{n_k})_k$ がすべての $\lambda>0$ に対して同時に働く点である：$\varepsilon<\lambda$ で構成しておけば $E$ は $\mu(E)<\varepsilon\le\lambda$ を満たし、しかも $A=\Omega\setminus E$ 上では（$\lambda$ に依らず）同じ一様収束が成り立つから、この 1 本の部分列で任意精度の例外集合を実現できる。よって $(f_{n_k})_k$ は概一様収束する。
測度収束の完備性（Prop XXII.9.8）を導く鍵となる対角線論法。