📐 Proposition IX.3.10（可算コンパクト ⟺ locally finite な非空族は有限）

• 📐 Proposition IX.3.10（可算コンパクト ⟺ locally finite な非空族は有限） #Card
  • free 位相の可算コンパクト性を cards/topology/locally-finite-family の言葉で特徴づけると。

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free 位相 $\tau$ が countably compact $\iff$ 非空集合からなる locally finite 族は必ず有限。

証明の骨子（$\Rightarrow$）: 無限 locally finite 族 $\mathcal{A}$ を仮定すると可算部分列 ${A_n}$ で「新しい点を導入し続ける」列が取れ、$F_n:=\operatorname{cl}\tau(\bigcup{k>n}A_k)$ が減少閉集合列。可算コンパクト性から $x_\infty\in\bigcap F_n$ を得るが、$F_n=\bigcup_{k>n}\operatorname{cl}\tau A_k$（Prop VI.2.6、有限和との交換）から $x\infty$ が無限個の $A_{k_n}$ の閉包に属す — local finiteness に矛盾。

（$\Leftarrow$）: 集積点を持たない無限可算集合があれば、単集合族 ${{a_n}}$ が locally finite かつ無限。

cards/topology/accumulation-point（Prop IX.3.9）の言い換えだが、「集合族」の言葉にすることで後続章の paracompactness 系の議論への橋渡しになる。