$\xi$-accumulation point（Definition IX.3.8）／📐 Proposition IX.3.9
- $\xi$-accumulation point（Definition IX.3.8）／📐 Proposition IX.3.9 #Card
- 集積点の定義と、free 位相の可算コンパクト性を集積点の存在で特徴づけると。
$x$ が $A$ の $\xi$-accumulation point :⟺ $x\in\operatorname{adh}_\xi(A\setminus{x})$。そうでなければ $x$ は $A$ で $\xi$-isolated。
全点が isolated なら $A$ は $\xi$-discrete（cards/topology/locally-finite-family、各 $x$ に $V\cap A$ が高々1点となる $V\in\mathcal{V}_\xi(x)$ が存在）。
Prop IX.3.9: free 位相 $\tau$ が countably compact $\iff$ 任意の無限（可算）集合が集積点を持つ。
証明の骨子: 非可算コンパクトなら真に増大する開集合列 ${O_n}$ で $\bigcup O_n=X$ を取り、各段の「新しい点」$x_n\in O_{n+1}\setminus O_n$ を選ぶと ${x_n:n<\omega}$ は集積点を持たない — 「開被覆による脱出」と「点列が逃げ切る」ことが同値になる、ボルツァノ–ワイエルシュトラス型定理の抽象版。