📐 測度論的収束の特徴づけ $\xi=\Phi^-(\Phi\xi)$ (Proposition XXII.9.10)
- 📐 測度論的収束の特徴づけ $\xi=\Phi^-(\Phi\xi)$ (Proposition XXII.9.10) #Card
- 収束 $\xi$ が測度論的であることを、商写像 $\Phi$ による等式でどう特徴づけるか。
$M$ 上の収束 $\xi$ が cards/topology/measure-theoretic-convergence であることと $\xi=\Phi^-(\Phi\xi)$（cards/topology/initial-convergence と cards/topology/final-convergence の合成として自分自身に戻る）が同値。
証明の要点: $g\in[f]\mu\iff\mu{f\neq g}=0$ なので、$\xi$ が測度論的 $\iff$（$\varphi(f)=f$ a.e. なる任意の $\varphi$ に対し $f\infty\in\lim_\xi\mathcal{F}\Rightarrow\varphi(f_\infty)\in\lim_\xi\varphi[\mathcal{F}]$）$\iff$（式 XXII.9.3 により $\Phi(f)=\Phi(\varphi(f))$ かつ $\Phi[\mathcal{F}]=\Phi[\varphi[\mathcal{F}]]$）$\iff$ Prop IV.3.3 の意味で $\xi=\Phi^-(\Phi\xi)$（$\xi$ が $\Phi$ のファイバーの収束に等しい）。
一般には $\xi\geq\Phi^-(\Phi\xi)$ しか成り立たないところ、測度論的性という条件はちょうど等号を要求する——「$\Phi$ による商への押し出しと引き戻しで完全に情報が保存される」ことの言い換え。