Example IX.4.6・IX.4.7（円の被覆写像：開だが閉でない／閉だが開でない）
- Example IX.4.6・IX.4.7（円の被覆写像：開だが閉でない／閉だが開でない） #Card
- $f(x)=(\cos2\pi x,\sin2\pi x)$ を $\mathbb{R}$ と $[0,1]$ から取ったときの開・閉性の違いは。
$f(x):=(\cos2\pi x,\sin2\pi x)$（円 $S^1$ への写像）。
Example IX.4.6（$f:\mathbb{R}\to S^1$、開だが閉でない）: 開区間の像は開弧なので $f$ は open。しかし $N:={n+\frac1n:n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{R}$ で閉だが、$f(N)$ は $n\to\infty$ で $f(n+\frac1n)\to(1,0)\notin f(N)$ に集積し閉でない。
Example IX.4.7（$f:[0,1]\to S^1$、閉だが開でない）: $[0,\frac12[$ は $[0,1]$ で開だが $f([0,\frac12[)$ は $S^1$ で開でない（$f(0)$ の近くに $f(-2\pi/n)$ 型の点が集積し、像の「端」を塞げない）。しかし $f$ 自体は閉写像（コンパクト空間 $[0,1]$ から Hausdorff 空間への連続写像は自動的に閉、cards/topology/continuous-image-compact ＋ cards/topology/compact-hausdorff-implies-closed の帰結）。
「定義域を非コンパクトからコンパクトに変えるだけで開・閉の性質が入れ替わる」好対比の例。