Preuniformity（Definition XV.1.1）

• Preuniformity（Definition XV.1.1） #Card
  • $X\times X$ 上のフィルターとして preuniformity をどう定義するか。離散・混沌 preuniformity とは。

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Preuniformity on $X$ := フィルター $\mathcal{R}$ on $X\times X$ such that $\Delta\subset\ker\mathcal{R}$（$\ker\mathcal{R}:=\bigcap_{R\in\mathcal{R}}R$、$\Delta:=\Delta_X={(x,x):x\in X}$）。

$\mathcal{R}_1$ が $\mathcal{R}_0$ より finer :⟺ $\mathcal{R}_1\geq\mathcal{R}_0$。preuniformity 全体は完備束（任意の集合が inf・sup を持つ）。

• discrete preuniformity $\Delta^\uparrow={F\subset X\times X:\Delta\subset F}$ — 最も細かい（finest）。
• chaotic preuniformity ${X\times X}$ — 最も粗い（coarsest）。

$\mathcal{R}\in\mathfrak{F}(X\times X)$ なので各 $R\in\mathcal{R}$ は $X$ 上の二項関係。慣例（I.1.1）で $Rx:={y\in X:(x,y)\in R}$（$x$ の $R$ による像）。

Meaning

XV.1 で preuniformity を先に導入するのは、uniform 構造を「最初から対称な距離類似構造」に限定しないためである。著者はここで、全位相を扱うために quasi/uniform へ段階的に進む設計を取り、metric 的直観と一般位相の橋を作る。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp15-2024-uniform-structures.pdf p.334–335