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Totally bounded metric（X.3）／📐 Proposition X.3.12・Corollary X.3.13・X.3.14

  • Totally bounded metric（X.3）／📐 Proposition X.3.12・Corollary X.3.13・X.3.14 #Card
    • 全有界距離の定義と、可算コンパクトな距離化可能位相が全有界・可分・（実は）コンパクトになることの連鎖は。

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距離 $d$ が totally bounded :⟺ 各 $\varepsilon>0$ に対し有限集合 $F$ で $X\subset B_d(F,\varepsilon)$。

Prop X.3.12: 可算コンパクトな距離化可能位相の適合距離は全有界（さもなくば $\varepsilon$-離散な無限点列が閉離散部分空間を作り cards/topology/countably-compact-locally-finite に矛盾）。

Cor X.3.13: 全有界 ⟹ 可算個の有限集合の合併が稠密 ⟹ 可分（$d(\cdot,F_n)$ で $2^{-n}$ 刻みに被覆）。

Cor X.3.14（連鎖の帰結）: 可算コンパクト距離化可能 ⟹ 可分（Cor X.3.13）⟹ cards/topology/density-weight-inequality（Prop IX.2.16）で可算 weight ⟹ cards/topology/lindelof-property（Cor IX.3.2）⟹ 可算コンパクト + Lindelöf = コンパクト。

帰結: 距離化可能位相では「可算コンパクト」と「コンパクト」が完全に一致（一般の位相では真に異なる、cards/topology/countably-compact 参照）。