Countably Based, Non-Sequential Filter (可算基底だが列型でないフィルター) (Example II.2.23)
- Countably Based, Non-Sequential Filter (可算基底だが列型でないフィルター) (Example II.2.23) #Card
- 実数直線上で可算基底なのに sequential でないフィルターの標準例は？
Let $x \in \mathbb{R}$ and consider $$\mathcal{B} := \left{, \left]x - \tfrac{1}{n}, x + \tfrac{1}{n}\right[ ,: n \in \mathbb{N}_1 \right}.$$ $\mathcal{B}$ は可算なので $\mathcal{B}^\uparrow$ は countably based。しかし各開区間は非可算なので、この filter は sequential でない（sequential filter の基底元は列の尾＝可算集合を含む必要がある）。
- 近傍フィルターは列型ではない——第III章で $\sigma_\mathbb{R}$ の vicinity filter が収束しない（$\sigma_\mathbb{R}$ が前位相でない）ことの理由がこれ（Example III.1.9 が引用する）。
- $\mathbb{S} \subsetneq \mathbb{F}_1$（列型 ⊊ 可算基底）の分離例。