距離の completeness（定義）／📐 Proposition X.4.3（4同値条件）
- 距離の completeness（定義）／📐 Proposition X.4.3（4同値条件） #Card
- 完備距離の定義と、フィルター・列を横断する4つの同値条件は。
距離 $d$ が complete :⟺ 各 fundamental フィルターが adherent（$\operatorname{adh}_{t_d}\mathcal{F}\neq\emptyset$）。
Prop X.4.3（同値条件）:
- $d$ が complete
- 各 fundamental フィルターが収束
- 各 Cauchy 列が収束
- 各 Cauchy 列が adherent
証明の環（(4)⟹(1) が本質）: fundamental $\mathcal{F}$ から縮小する $F_n\in\mathcal{F}$（$\operatorname{diam}<2^{-n}$）を選び代表点 $x_n\in F_n$ を取ると Cauchy 列。(4) で adherent、cards/topology/cauchy-fundamental-filter（Lemma X.4.1）で列自体が収束、$(F_n)_n\leq\mathcal{F}$ を経由して $\mathcal{F}$ も収束。
「フィルターの完備性」と「列の完備性」が距離空間では完全に往復可能（一般の収束構造ではフィルターの方が真に強い言語）。