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📐 Corollary VII.4.2〜VII.4.4（位相の上限・下限・積は位相／完備束）

  • 📐 Corollary VII.4.2〜VII.4.4（位相の上限・下限・積は位相／完備束） #Card
    • 位相の supremum・infimum・product はどうなるか。

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  • supremum: 位相の任意の非空 supremum は位相（Cor VII.4.2、$T$ の単調性から直接）。
  • 完備束（Cor VII.4.3）: 位相の集合 $\mathbb{T}X$ は inclusion で完備束。infimum は一般に位相でないので $\bigwedge{\mathbb{T}} \Xi := T(\bigwedge \Xi)$（topologizer で修正）。
  • product（Cor VII.4.4）: 位相の積は位相（積は射影の始収束の sup、Lemma VII.3.7 + Cor VII.4.2 から）。

閉集合族で見ると: $\mathcal{C}{\bigwedge{\mathbb{T}}\Xi} = \bigcap_{\xi\in\Xi}\mathcal{C}\xi$（きれいに交わる）だが、$\mathcal{C}{\bigvee\Xi}$ は $\bigcup_\xi \mathcal{C}_\xi$ を含む最小の (VII.1.3)(VII.1.4) 閉じた族（単純な合併ではない）。