Pretopologically/topologically Hausdorff（Definition IX.5.12）と反例2連発

• Pretopologically/topologically Hausdorff（Definition IX.5.12）と反例2連発 #Card
  • $S_0\xi$・$T\xi$ が Hausdorff であることの定義、Hausdorff との強弱関係、崩れる反例は。

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$\xi$ が pretopologically Hausdorff :⟺ $S_0\xi$（cards/topology/pretopologizer-s0）が Hausdorff。topologically Hausdorff :⟺ $T\xi$（cards/topology/topologizer）が Hausdorff。

$\lim_\xi\mathcal{F}\subset\lim_{S_0\xi}\mathcal{F}\subset\lim_{T\xi}\mathcal{F}$ より: $$\text{topologically Hausdorff} \implies \text{pretopologically Hausdorff} \implies \text{Hausdorff}.$$

逆は不成立（2つの反例、どちらも可算個の可算集合を束ねる構成）:

• Example IX.5.14（Hausdorff だが $S_0$-Hausdorff でない）: ${0,\infty}\sqcup\bigsqcup X_n$ で $\mathcal{V}\zeta(0)#\mathcal{V}\zeta(\infty)$ が起きる。
• Example IX.5.15（$S_0$-Hausdorff だが $T$-Hausdorff でない）: 上の空間に列 $(x_n)$ をさらに $0$ に収束するよう追加し、$\mathcal{N}\eta(0)#\mathcal{N}\eta(\infty)$ を作る。

Prop IX.5.13: prime な free 収束は自動的に topologically Hausdorff（区別点1つの構造なので分離が自明）。