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Dissonant な位相の一般判定（Lemma XXIV.7.4）と具体例：bisequence・Arens・radial topology

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Section titled “Back”

Lemma XXIV.7.4（dissonance の一般判定）: $(\mathcal{A}n)n$ を $\xi$-compact family の列、$\mathcal{A}$ を $\xi$-compact な proper family とし、$\mathcal{A}\subset\bigcup_n\bigcap{k>n}\mathcal{A}k$、かつ $\mathcal{O}\xi(K)\setminus\mathcal{A}\neq\emptyset$ となる各 $K\in\mathcal{K}(\xi)$ に対しある $n$ で $\mathcal{O}\xi(K)\subset\mathcal{A}n$ が成り立てば、$\xi$ は dissonant。（証明: $\mathcal{A}\infty:=\mathcal{A}\cap\bigcap_n\mathcal{A}_n$ が $\xi$-compact だが compactly generated でないことを示す。）

  • Example XXIV.7.5（Bisequence topology）：cards/topology/bisequence-pretopology の位相化 $T\theta$。コンパクト集合＝収束列とその極限、有限和。近傍フィルター $\mathcal{N}\theta(x\infty)=\bigcup_n\bigcap_{k>n}\mathcal{N}_\theta(x_k)$ が Lemma XXIV.7.4 の条件を満たし、dissonant。
  • Example XXIV.7.6（Arens topology）：cards/topology/topologizer-noncommutativity の Arens 位相（bisequence 位相を ${x_\infty}\cup{x_{n,k}}$ に制限）。コンパクト集合は全て有限（$x_\infty$ の近傍基が非余有限集合からなるため）。各 $n$ で $\mathcal{A}n:=\bigcup_k\mathcal{O}(x{n,k})$ が compact、$x_\infty$ の近傍フィルター $\mathcal{A}$（compact かつ closed）が同じ条件を満たし、dissonant。
  • $\mathbb{R}^2$ 上の radial topology（cards/topology/radial-topology、Example VII.4.9）も dissonant（証明は込み入っているため割愛）。
  • $\mathbb{Q}$（標準位相）も dissonant（cards/topology/thm-xxiv-7-2-countably-complete-regular-consonant のカード参照、Bouziad–Fremlin 1995）。

これらの反例に共通するのは、いずれもcards/topology/thm-xxiv-7-2-countably-complete-regular-consonantの十分条件（正則・可算完備）のどちらかを欠く（bisequence/Arens/radial は非正則、$\mathbb{Q}$ は非可算完備）という点——定理の十分性が実質的にタイトであることを示す。