Perfect map（本文）／📐 Proposition IX.4.10・IX.4.11・IX.4.13
- Perfect map（本文）／📐 Proposition IX.4.10・IX.4.11・IX.4.13 #Card
- 完全写像の定義と、コンパクト性・局所有限性・分離公理の保存に関する3命題は。
全射 $f$ が perfect :⟺ $f$ が閉写像、かつ各 $y$ で $f^-(y)$ が $\xi$-compact（伝統的定義は連続性も仮定）。cards/topology/open-not-closed-example（Example IX.4.7、円の被覆写像 $[0,1]\to S^1$）は perfect の例。
注意: 以下2命題は連続性を仮定しない（Remark IX.4.12）:
- Prop IX.4.10: $K$ が $\tau$-compact なら $f^-(K)$ は $\xi$-compact（ファイバーごとのコンパクト性を有限被覆に統合）。
- Prop IX.4.11: $\mathcal{A}$ が $\xi$-locally finite なら $f[\mathcal{A}]$ は $\tau$-locally finite。
Prop IX.4.13（$f\in C(\xi,\tau)$ が perfect）: $\xi$ が Hausdorff なら $\tau$ も Hausdorff。$\xi$ が Hausdorff かつ regular なら $\tau$ も regular。
要点: perfect map は「ファイバーごとのコンパクト性」を通じて、コンパクト性・局所有限性・分離公理を終収束の方向に伝播させる万能の道具。