📐 Proposition XV.1.12（quasi-uniformity ⟹ $\lambda\mathcal{R}$ は位相）
- 📐 Proposition XV.1.12（quasi-uniformity ⟹ $\lambda\mathcal{R}$ は位相） #Card
- preuniformity 一般では pretopology しか出ないのに、quasi-uniformity だとなぜ位相（topology）になるのか。
$\mathcal{R}$ が quasi-uniformity なら、associated convergence $\lambda\mathcal{R}$ は（単なる pretopology でなく）位相になる。
証明の鍵: $\lambda\mathcal{R}$ が pretopology なのは既知なので、$V\in\mathcal{V}{\lambda\mathcal{R}}(x)$ に対し $W\in\mathcal{V}{\lambda\mathcal{R}}(x)$ で $V\in\mathcal{V}_{\lambda\mathcal{R}}(W)$（$W$ の各点の近傍として $V$ が見える）となるものを作れば良い。$Rx\subset V$ なる $R\in\mathcal{R}$ を取り、quasi-uniformity 条件で $S^2\subset R$ なる $S\in\mathcal{R}$ を取ると、$W:=Sx$ が求めるもの（$S(Sx)\subset Rx\subset V$）。三角不等式的な合成条件 $S^2\subset R$ が、位相の「開集合の中に開近傍が入れ子になる」性質を作り出す。