📐 Proposition XII.1.11（Euclid 空間の部分集合のコンパクト性、4つの同値な言い換え）

• 📐 Proposition XII.1.11（Euclid 空間の部分集合のコンパクト性、4つの同値な言い換え） #Card
  • Euclid 空間の部分集合 $A$ が compact であることの、フィルター・列・可算被覆・任意被覆による4つの同値な言い換えは。一般の収束空間ではどうなるか。

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$A$（標準位相を持つ Euclid 空間 $E$ の部分集合）についてコンパクト $\iff$ 以下すべて同値:

1. フィルター $\mathcal{F}$ が $A$ と mesh するなら $\operatorname{adh}\mathcal{F}\cap A\neq\emptyset$
2. $A$ の任意の点列は $A$ の点に収束する部分列を持つ（列コンパクト性）
3. $A$ の可算開被覆は有限部分被覆を持つ
4. $A$ の任意の開被覆は有限部分被覆を持つ

証明は Exercise XII.10.3 で完成（$\mathbb{Q}$ の可算性を使い、任意被覆を可算被覆に落とす段が鍵）。

警告: 位相空間一般では (1) と (4) のみが同値。一般の収束空間では4つとも異なる。Euclid 空間（第二可算・距離化可能）という特殊性がこの一致を可能にしている。

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IsCompact（位相版の (4)）と IsSeqCompact（(2)）は Mathlib では一般に同値でない（第二可算性・距離化可能性が必要）。