📐 Proposition VIII.3.5・Corollary VIII.3.6（コンパクト性のイデアル特徴づけ）
- 📐 Proposition VIII.3.5・Corollary VIII.3.6（コンパクト性のイデアル特徴づけ） #Card
- コンパクト性を（フィルターでなく）イデアルの言葉で言い換えると。部分集合版は。
Prop VIII.3.5: $\xi$ がコンパクト $\iff$ 任意のイデアル $\mathcal{P}$ で $X=\operatorname{inh}_\xi\mathcal{P} \implies X\in\mathcal{P}$。
（イデアル = 補集合の族がフィルターになる族。Lemma VIII.2.3 経由で $\operatorname{adh}_\xi\mathcal{P}^c=\emptyset \implies \emptyset\in\mathcal{P}^c$ の言い換え。）
Cor VIII.3.6（部分集合版）: $A$ が $\xi$-compact $\iff$ 任意のイデアル $\mathcal{P}$ で $A\subset\operatorname{inh}\xi\mathcal{P} \implies A\in\mathcal{P}$。前位相なら (VIII.2.2) 経由で $$A \subset \bigcup{P\in\mathcal{P}} \operatorname{inh}_\xi P \implies A \in \mathcal{P}. \tag{VIII.3.2}$$
位相では $\operatorname{inh}\xi=\operatorname{int}\xi$ に還元 — 次の古典的な有限部分被覆の特徴づけ（Prop VIII.3.7）への一歩手前。