Proposition IV.9.4 (選択原理 / Selection Principle)
- Proposition IV.9.4 (選択原理 / Selection Principle) #Card
- 下半連続な関係から連続な選択（selection）が取れる条件。
Let $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ be free countably based filters and $R \in C(\mathcal{F}, \mathcal{G})$（下半連続）. Then there exist $F \in \mathcal{F}$ and a map $f$ defined on $F$ such that $f(x) \in R_x$ for each $x \in F$ and $f \in C(\mathcal{F}, \mathcal{G})$.
- E. Michael の連続選択理論の原型。可算基底（第一可算性）が本質的。
証明の骨子（可算基底による階段構成）. 目標の連続性 $f \in C(\mathcal{F},\mathcal{G})$ は下半連続性の翻訳 $\mathcal{G} \leq f[\mathcal{F}]$、随伴 (IV.1.4)（cards/topology/image-preimage-adjunction）でこれは $f^-[\mathcal{G}] \leq \mathcal{F}$、すなわち各 $k$ で $R^- G_k$ を含むほど細かい $F \in \mathcal{F}$ が取れること、と同値。
- $\mathcal{F}$ の狭義減少基底 ${F_n}$、$\mathcal{G}$ の狭義減少基底 ${G_n}$ を取る（可算基底が本質）。$R \in C(\mathcal{F},\mathcal{G})$（下半連続）より、各 $k$ に対しある添字 $n_k$ で $F_{n_k} \subset R^- G_k$（$R^- G_k := {x : R_x \cap G_k \neq \emptyset}$）。$(n_k)_k$ は狭義増加に取れる。
- 各 $k$ で、$x \in F_{n_k}$ に対し $f_k(x) \in R_x \cap G_k$ を選ぶ（選択公理）。階段状に $$f(x) := f_k(x) \quad (x \in F_{n_k} \setminus F_{n_{k+1}})$$ と定めると、$f$ は $F := F_{n_0}$ 上で定義され、$f(x) \in R_x$（selection）を満たす。
- 連続性: 各 $k$ で $F_{n_k} \subset R^- G_k$ かつ $x \in F_{n_k} \Rightarrow f(x) \in G_k$ の含意から $F_{n_k} \subset f^-(G_k)$、ゆえに $f^-(G_k) \in \mathcal{F}$ が全 $k$ で成り立ち $f^-[\mathcal{G}] \leq \mathcal{F}$。再び (IV.1.4) で $\mathcal{G} \leq f[\mathcal{F}]$、すなわち $f \in C(\mathcal{F},\mathcal{G})$。∎