📐 Proposition VIII.1.3（Hausdorff ⟹ adh=lim）／Example VIII.1.4（反例）
- 📐 Proposition VIII.1.3（Hausdorff ⟹ adh=lim）／Example VIII.1.4（反例） #Card
- Hausdorff 収束で $\lim_\xi\mathcal{F}\neq\emptyset$ のとき $\operatorname{adh}_\xi\mathcal{F}$ はどうなるか。Hausdorff性を落とすと崩れる例は。
Prop VIII.1.3: $\xi$ が Hausdorff かつ $\lim_\xi \mathcal{F} \neq \emptyset$ ならば $\operatorname{adh}\xi \mathcal{F} = \lim\xi \mathcal{F}$（単集合）。証明: $x\in\lim_\xi\mathcal{F}$ なら各 $\mathcal{U}\in\beta\mathcal{F}$ で $\lim_\xi\mathcal{U}={x}$（Hausdorff性）、Lemma VIII.1.2 から従う。
Example VIII.1.4（反例、Sierpiński 位相 $$_0$）: フィルター ${{0,1}}^\uparrow$ は収束し $\lim_{$0}{{0,1}}^\uparrow={1}$（単集合）だが、$0 \in \lim{$0}{0} \subset \operatorname{adh}{$_0}{{0,1}}^\uparrow$ — Hausdorff性なしでは adh は $\lim$ より真に大きくなりうる（$$_0$ は $T_0$ だが $T_2$ でない）。
本ノート RoyalRoad.ChapterVIII.prop_VIII_1_3（Hausdorff で adh = lim = {x}、Notes/ChapterVIII.lean、lake build 済み）