Proposition II.2.22 (主フィルターが列型になる条件)
- Proposition II.2.22 (主フィルターが列型になる条件) #Card
- ${A}^\uparrow$ はいつ sequential か。
A principal filter ${A}^\uparrow$ is sequential if and only if $A$ is countable.
証明の骨子:
- （$\Rightarrow$）${A}^\uparrow$ が sequential なら cards/topology/cor-ii-2-12（Cor II.2.12）より可算集合 $C$ を含む。$A$ は ${A}^\uparrow$ の最小元なので $A \subset C$、よって $A$ 可算。
- （$\Leftarrow$）$A$ 可算のとき $A$ を尾 ${\varphi(n) : n>m}$ がすべて $A$ になる列で実現する:
- $A = {a_1,\dots,a_k}$ 有限 → 巡回列 $\varphi(n) := a_{[n]_k}$（$[n]_k$ は $n \bmod k$）。各尾が $A$ 全体。
- $A = {a_k : k \in \mathbb{N}}$ 無限可算 → $a_0,\ a_0 a_1,\ a_0 a_1 a_2,\ \dots$ と各元を無限回訪ねる列。各尾が $A$ 全体。
- いずれも尾の族 ${{\varphi(n):n>m}}$ が ${A}$ を基底に持つので $\Gamma_\varphi = {A}^\uparrow$（Prop II.2.10 の尾基底判定）。