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Example IX.3.14（辞書式順序の単位正方形：コンパクトだが可分でない位相）

  • Example IX.3.14（辞書式順序の単位正方形：コンパクトだが可分でない位相） #Card
    • $[0,1]^2$ の辞書式順序位相の構成と、なぜコンパクトかつ可算指標だが可分でないのか。

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$I^2:=[0,1]\times[0,1]$ に辞書式順序 $(x_0,y_0)<(x_1,y_1) :\iff x_0<x_1$ または（$x_0=x_1$ かつ $y_0<y_1$）を入れる。この順序集合は完備束（sup の構成: $x^+:=\sup{x:\exists y,(x,y)\in R}$、その列で $y$ 方向にもさらに sup を取る）ので cards/topology/linear-order-topology-compact（Thm IX.3.6）よりコンパクト。

近傍基は3種類（上端・下端・中間の点で形が変わる、Figure IX.3.1）：中間点 $(x_0,y_0)$（$0<x_0,y_0<1$）では ${x_0}\times{]y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon[}$ という「垂直方向の細い帯」— 各点で可算指標。 Hausdorff かつコンパクトなので cards/topology/hausdorff-compact-regular-normal より自動的に正規。

しかし可分でない: 稠密集合 $D$ は各 $x$ の「垂直ファイバー」${x}\times{]1/4,3/4[}$ と交わる必要があり $\operatorname{card}D\geq\mathfrak{c}$。「コンパクト・可算指標だが可分でない」— cards/topology/density-weight-inequality（距離化可能なら $d=w$ かつ両方可算になるはず）が破れる非距離化可能性の実例。