Proposition II.3.7 (可算基底フィルターの列型分解)
- Proposition II.3.7 (可算基底フィルターの列型分解) #Card
- 可算基底フィルターは列型フィルターからどう作られるか。
Each countably based filter is an infimum of sequential filters: $$\mathcal{F} = \bigwedge {\mathcal{E} \in \mathbb{S} : \mathcal{E} \supset \mathcal{F}}.$$
証明の骨子:
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示すべきは $\mathcal{F} = \bigwedge{\mathcal{E} \in \mathbb{S} : \mathcal{E} \supset \mathcal{F}}$。$\supset$ は各 $\mathcal{E} \supset \mathcal{F}$ より（inf ＝共通部分が $\mathcal{F}$ 以上）。核心は $\subset$、すなわち「$\mathcal{F}$ に属さない $H$ はある列型 $\mathcal{E} \supset \mathcal{F}$ にも属さない」。
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減少基底 $(F_n)n$ を取る（cards/topology/countably-based-filter）。まず $\Gamma\varphi \supset \mathcal{F}$ を作る: 基底が定常化するなら共通点 $x$ の定数列で $\Gamma_\varphi = x^\uparrow \supset \mathcal{F}$、そうでなければ狭義増加 $(n_k)$ で $x_k \in F_{n_k} \setminus F_{n_k+1}$ を選ぶ。
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$H \notin \mathcal{F}$ に対しては各 $n$ で $F_n \setminus H \neq \emptyset$、そこから $x_n \in F_n \setminus H$ を選んで列 $\varphi(n):=x_n$ を作ると $\Gamma_\varphi \supset \mathcal{F}$ かつ $H \notin \Gamma_\varphi$。よってこの $\Gamma_\varphi$ が $H$ を排除する列型上界となり $\subset$ が従う。
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帰結: すべての可算基底フィルターは Fréchet（cards/topology/frechet-filter）。逆は成り立たない（Fréchet で可算基底でない例が Example XVI.4.5 に）。
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「可算基底 = 列で近似できる」——第一可算空間で列が十分な理由の核心。