📐 Theorem XV.4.13（稠密部分からの一様連続写像の拡張定理）／Corollary XV.4.14
- 📐 Theorem XV.4.13（稠密部分からの一様連続写像の拡張定理）／Corollary XV.4.14 #Card
- 完備 Hausdorff な値域を持つ一様連続写像を、稠密な定義域から全体へどう一意に拡張するか。
$(X,\mathcal{P}),(Y,\mathcal{R})$ を uniform 空間、$D$ を $\lambda\mathcal{P}$-dense な $X$ の部分集合とする。$\mathcal{R}$ が complete かつ Hausdorff、$f\in U(\mathcal{P}|_D,\mathcal{R})$ なら、$F|_D=f$ となる $F\in U(\mathcal{P},\mathcal{R})$ が存在する。
構成: cards/topology/prop-xv-4-4-uniform-continuity-preserves-cauchy より ${f(Px\cap D):P\in\mathcal{P}}$ は $\mathcal{R}$-Cauchy filter-base なので、completeness + Hausdorff 性から $${F(x)}=\bigcap_{P\in\mathcal{P}}\operatorname{cl}_{\lambda\mathcal{R}}f(Px\cap D)$$ が一点を定める（写像として well-defined）。$F$ の一様連続性は $A\times A\subset P^2\implies$ 閉包の制御公式（XV.2.1／cards/topology/uniformity）を経由して示す。
Corollary XV.4.14: $\mathcal{P},\mathcal{R}$ が両方 complete uniformity、$A,B$ がそれぞれ稠密、$f\in U(\mathcal{P}_A,\mathcal{R}_B)$ かつ $f^{-1}\in U(\mathcal{R}_B,\mathcal{P}_A)$（uniform isomorphism）なら、$F^{-1}\in U(\mathcal{R},\mathcal{P})$ かつ $F|_A=f$ となる一意な $F\in U(\mathcal{P},\mathcal{R})$ が存在（両方向を拡張定理に適用し一意性を導く）。
cards/topology/uniform-continuity-extension（距離空間版 Theorem X.5.7）を preuniformity 一般に拡張したもの。