一様収束 $\lim{}_{u\mathcal{R}}$ と $\hat{\mathcal{R}}$ の構成（XV.3 後半）
- 一様収束 $\lim{}_{u\mathcal{R}}$ と $\hat{\mathcal{R}}$ の構成（XV.3 後半） #Card
- preuniformity 一般に対して、関数空間 $Y^X$ 上の一様収束をどう定義するか。$\hat{R}$ とは何か。
$X$ を集合、$\mathcal{R}$ を $Y$ 上の preuniformity とする。$f_\infty\in\lim_{u\mathcal{R}}\mathcal{F}$ :⟺ 各 $R\in\mathcal{R}$ に対し、ある $F\in\mathcal{F}$ で $(f_\infty(x),f(x))\in R$（すべての $x\in X$, $f\in F$）。
各 $R\in\mathcal{R}$ は $Y^X$ 上の関係 $\hat{R}$ を誘導: $(f,g)\in\hat{R}$ :⟺ $(f(x),g(x))\in R$（すべての $x$）。$\widehat{R_0\cap R_1}=\hat{R_0}\cap\hat{R_1}$ が成り立つので $\hat{\mathcal{R}}:={\hat{R}:R\in\mathcal{R}}$ は preuniformity（$\mathcal{R}$ が preuniformity のとき）。さらに $\widehat{R^-}=(\hat{R})^-$、$\widehat{S\circ R}=\hat{S}\circ\hat{R}$ なので、$\mathcal{R}$ が quasi-uniformity/uniformity なら $\hat{\mathcal{R}}$ もそう。$\lambda\hat{\mathcal{R}}$ = 一様収束の位相そのもの。
cards/topology/uniform-convergence-metrizable（擬距離版、X.3.7）を一般 preuniformity に拡張したもの。