📐 距離の連続性を支える不等式（Lemma X.3.1・X.3.4）とその帰結

• 📐 距離の連続性を支える不等式（Lemma X.3.1・X.3.4）とその帰結 #Card
  • 距離関数が連続であることを保証する2つの不等式と、そこから従う系は。

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$$|d(x_0,y)-d(x_1,y)| \leq d(x_0,x_1) \tag{X.3.2}$$ $$|d(x_0,y_0)-d(x_1,y_1)| \leq d(x_0,x_1)+d(y_0,y_1) \tag{X.3.3}$$

（どちらも三角不等式2回適用の直接計算。）帰結:

• 各 $y$ で $x\mapsto d(x,y)$ は連続（cards/topology/metric-convergence の位相で）→ 開球 $B(x,\varepsilon)$ は開集合 → 距離化可能な収束は自動的に位相。
• Cor X.3.2: 距離化可能な位相 $\xi$ は ${d(\cdot,x):x\in|\xi|}$ に関して $\nu_\mathbb{R}$-始収束。
• Cor X.3.3: 距離化可能な収束は Hausdorff かつ可算指標な位相。
• Cor X.3.5: $d\in C(\xi\times\xi,\nu)$（距離自身が同時連続）。