Propositions II.2.13–14 (列型フィルターの自由性・主性)
- Propositions II.2.13–14 (列型フィルターの自由性・主性) #Card
- $\Gamma_\varphi$ が free / principal になるのは $\varphi$ のファイバー $\varphi^-(x)$ がどんなときか。
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Proposition II.2.13: $\Gamma_\varphi$ is free if and only if $\varphi^-(x)$ is finite for each $x \in \varphi(N)$（どの値も有限回しか取らない）.
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Proposition II.2.14: $\Gamma_\varphi$ is principal if and only if $\varphi^-(x)$ is infinite for each $x$ in a cofinite subset of $\varphi(N)$（有限個の例外を除きどの値も無限回取る）.
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中間の場合、$\Gamma_\varphi$ は自由部分と主部分が両方 proper（filter decomposition の列版）。$\Gamma_\varphi$ が principal でなければ自由な部分列が取れる。
証明の骨子（II.2.13）:
- $\Gamma_\varphi$ 自由 $\iff \operatorname{ker}\Gamma_\varphi = \emptyset \iff$ 各 $x$ に対しある有限 $A \subset N$ で $x \notin \varphi(N \setminus A)$。
- $x \notin \varphi(N \setminus A) \iff \varphi^-(x) \subset A$、すなわち $\varphi^-(x)$ が有限。よって「各 $x \in \varphi(N)$ でファイバー $\varphi^-(x)$ 有限」と同値（どの値も有限回しか取らない）。
証明の骨子（II.2.14）:
- $\Gamma_\varphi = {E}^\uparrow$（principal）とすると $E \subset \varphi(F)$（$F$ cofinite）が全ての $F$ で成り立つ。ファイバー有限な点 $x$ からなる集合 $D := {x : \operatorname{card}\varphi^-(x) < \infty}$ は $E$ と交わらない（各 $x \in D$ で $E \subset \varphi(N \setminus \varphi^-(x))$）。よって $x \in E \Rightarrow \varphi^-(x)$ 無限。
- $D$ が有限であることは背理法: $D$ 無限なら $\varphi|_{\varphi^-(D)}$ が $\varphi$ の部分列となり $\psi(\varphi^-(D)) \cap E = \emptyset$ に矛盾。従って「cofinite な $\varphi(N)$ 上でファイバー無限」と同値。